Колебания. Волны. Структуры. Н.В. Карлов, Н.А. Кирпиченко
Издательство Физматлит, г. Москва, 2008 г., 496 стр.
Даётся систематическое изложение современной теории колебаний и волн. Первая часть представляет собой элементарное введение в теорию колебаний. Во второй части излагаются наиболее существенные понятия и методы теории нелинейных динамических систем. Третья часть посвящена волновым процессам в линейных и нелинейных системах. В комментариях и приложениях рассмотрены некоторые задачи распространения волн, взаимодействия излучения с веществом и другие задачи нелинейной динамики, а также приведены сведения справочного характера. Основное содержание книги дополнено некоторым количеством задач с подробными их решениями.
Книга предназначена студентам, аспирантам и научным работникам, интересующимся теорией колебаний и ее приложениями.
Оглавление
Предисловие
Часть 1. Основные понятия теории колебаний
Глава I
Колебательные движения. Математический маятник. Пружинный маятник. Колебательный контур. Модель "хищник-жертва" Вольтерры. Модель химической реакции Лотки. Основные характеристики колебательного движения. Гармонические колебания. Амплитуда. Круговая и циклическая частоты. Период. Фаза. Изохронные колебания. Геометрическая интерпретация гармонических колебаний. Комплексное представление колебаний. Изображающая (фазовая) точка. Фазовая траектория. Фазовая плоскость. Ангармонические колебания. Точное решение уравнения движения математического маятника. Осциллятор.
Глава II
Свободные и вынужденные колебания. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс. Колебания при наличии трения. Апериодическое затухание. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Резонанс при наличии трения. Ширина резонанса. Система связанных осцилляторов. Суперпозиция колебаний. Нормальные колебания (нормальные моды). Собственные частоты системы. Гармонический анализ. Скалярное сложение колебаний. Биения. Векторное сложение колебаний. Фигуры Лиссажу. Параметрический резонанс. Теорема Флоке-Ляпунова. Резонансные полосы. Уравнение Матье.
Глава III
Кинетическая и потенциальная энергии математического маятника. Закон сохранения энергии. Перекачка кинетической энергии в потенциальную и обратно. Потери энергии при наличии трения. Слабое затухание. Время затухания колебаний. Добротность колебаний. Функция Ляпунова. Энергия вынужденных колебаний. Автономные неавтономные системы. Энергия системы связанных осцилляторов, разложение по нормальным модам. Диссипативная функция. Адиабатические инварианты. Адиабатически медленный процесс. Адиабатический инвариант пружинного маятника. Гамильтонова функция (гамильтониан) динамической системы. Степени свободы. Адиабатический инвариант системы с одной степенью свободы. Действие и угол, теорема Лиувилля.
Глава IV
Степени свободы. Фазовое пространство. Фазовая или изображающая точка. Фазовая траектория. Динамические системы. Фазовый портрет. Фазовая плоскость. Особые точки динамической системы. Центр, фокус, узел. Устойчивые и неустойчивые особые точки. Седло. Сепаратрисы седел. Нуль-изоклины. Характеристическое уравнение. Характеристические показатели. Особые точки гамильтоновых систем. Предельные циклы. Автоколебания. Механические часы. Лестница Ламерея. Точечное отображение или отображение последования. Неподвижная точка отображения. Одномерное и двумерное отображения. Автогенератор Ван-дер-Поля. Обратная связь. Уравнение Ван-дер-Поля. Отрицательное трение. Положительная и отрицательная обратные связи. Стохастические колебания. Система Лоренца. Странный аттрактор.
Часть 2. Нелинейные динамические системы
Глава V
Динамические системы. Эволюционный оператор, задача Коши. Пересекающиеся и непересекающиеся фазовые траектории. Особые точки. Классификация особых точек в трехмерном фазовом пространстве. Устойчивые и неустойчивые направления. Характеристические показатели на комплексной плоскости и устойчивость особых точек. Индексы Пуанкаре, сосуществование особых точек на фазовой плоскости.
Глава VI
Устойчивость, теория устойчивости. Устойчивость по Ляпунову, Фазовый поток, фазовая жидкость, фазовая капля. Асимптотическая устойчивость. Диссипативные системы. Экспоненциальная устойчивость. Орбитальная устойчивость. Асимптотическая и экспоненциальная орбитальные устойчивости. Равноускоренное движение материальной точки. Линейный осциллятор с трением. Нелинейный осциллятор (уравнение Дуффинга}. Аттрактор. Эргодичность. Эргодическая гипотеза. Эргодические системы. Система Лоренца. Безразличное положение равновесия. Притягивающий отрезок. Роль нелинейности и неаналитичности.
Глава VII
Бифуркации, бифуркационные значения параметров. Прогиб упругого стержня. Классификация корней квадратного уравнения. Структурная устойчивость, грубость системы. Теория катастроф. Складка. Многообразие катастрофы. Классификация корней кубического уравнения, сборка. Классификация корней уравнения четвертой степени, ласточкин хвост. Флаг катастроф. Ряд касповидных катастроф. Классификация экстремумов функций. Росток катастрофы, возмущение. Управляющие параметры, пространство управления. Деформация. Функции многих переменных.
Глава VIII
Одномерные точечные отображения. Неподвижные точки отображений. Монотонные отображения. Спираль Ламерея. Циклические точки. Итерированные отображения. Устойчивость циклических точек, n-циклы (Sn-циклы). Унимодальные отображения. Логистическое отображение или универсальное отображение Фейгенбаума. Бифуркации циклов в отображении Фейгенбаума. Бифуркации удвоения периода, каскад бифуркаций. Теория универсальности. Универсальный предел итераций гладких отображений. Сверхустойчивые циклы. Стохастические колебания. Динамический (или детерминированный) хаос. Квазислучайные последовательности. Шумящие циклы. Цикл S3. Иерархия циклов. Рождение цикла из хаоса. Сценарий рождения хаоса через перемежаемость (сценарий Помо-Манневиля). Распределение вероятностей значений элементов последовательностей. Инвариантное распределение, инвариантная мера. Уравнение Перрона-Фробениуса.
Глава IX
Самоподобие. Фрактальные множества, фракталы. Функция Вейерштрасса. Кривые Пеано. Канторовы множества, построение, мера, самоподобие. Масштабная инвариантность или скейлинг. Канторова (или "дьявольская") лестница. Кривые Коха, остров Коха. Ковёр Серпинского. Двух- и трехмерные фракталы, универсальная кривая Менгера. Разветвлённость фрактала. Вероятностные фракталы. Длина береговой линии. Определения линии. Топологическая размерность. Фрактальная размерность или ёмкость. Ёмкость некоторых фракталов. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Динамические системы с непрерывным и дискретным временем. Клеточные автоматы. Фрактальные структуры, порождаемые клеточными автоматами. Двумерные точечные отображения. Квадратичное отображение Хенона. Фрактальная структура аттрактора Хенона. Системы итерированных функций, детерминированный и рандомизированный алгоритмы, фрактальные структуры.
Глава X
Многопериодическое движение, многомерный тор. Сценарий Ландау-Хопфа. Случайные процессы, уравнения Ланжевена, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Корреляционная функция. Динамический хаос. Локальная неустойчивость. Эргодичность и перемешивание. Преобразование пекаря. Гамильтоновы системы. Энтропия Колмогорова-Синая (К-энтропия), К-системы. Теория устойчивости Колмогорова-Арнольда-Мозера (теория КАМ). Примеры систем с хаосом: рассеяние материальной точки на твёрдых шариках, рассеивающие биллиарды (биллиарды Синая). Одномерные и двумерные точечные отображения. Жёсткий ротатор (отображение Чирикова-Тэйлора). Стохастические слои, стохастическое море, стохастическая паутина (паутина Арнольда). Диффузия Арнольда. Диссипативные системы. Аттракторы и репеллоры. Странный аттрактор. Показатели Ляпунова. Система Лоренца. Сценарий Рюэля-Такенса. Аттрактор Рёслера. Ротатор с трением. Квантовый хаос.
Часть 3 Волны и структуры
Глава XI
Понятие волны. Бегущая волна. Скорость волны. Гармоническая волна. Амплитуда и фаза волны. Длина волны. Волновое число, волновой вектор. Плоская волна. Стоячая волна, узлы, пучности. Принцип суперпозиции. Волновое уравнение. Уравнение поперечных колебаний в упругом стержне. Уравнение звуковых волн в газе. Общее решение одномерного волнового уравнения. Сферически симметричные волны. Волновое уравнение с учётом трения. Дисперсия. Уравнения колебаний в бесконечной цепочке связанных маятников, закон дисперсии. Волновой пакет. Групповая скорость. Формула Рэлея. Нормальная и аномальная дисперсия. Энергия колебаний в волне. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Уравнение Клейна-Гордона.
Глава XII
Волны в периодических системах. Вектор трансляции, основные периоды решётки. Обратная решётка. Волны Блоха. Квазиимпульс. Зоны Бриллюэна. Приведённая и расширенная зонные схемы. Одномерный периодический потенциал, зонная структура спектра. Зонная структура спектра для системы связанных осцилляторов. Энергетический спектр электронов в решётке. Квазиконтинуальный спектр. Резонанс Ферми.
Глава XIII
Самовоздействие волны. Нелинейные волны, нелинейный волновой процесс. Простые волны (волны Римана). Опрокидывание волны. Уравнение Бюргерса. Диссипация, её роль. Бегущий фронт. Дисперсия волн. Оптическая и акустическая ветви. Гравитационно-капиллярные волны. Принцип причинности и дисперсионные соотношения. Временная и пространственная дисперсия. Уравнение Кортевега-де Фриса. Солитон. Многосолитонные решения. Взаимодействие солитонов. Законы сохранения для уравнения Кортевега-де Фриса. Другие нелинейные уравнения.
Глава XIV
Параметры порядка и подчинённые переменные. Диссипативные структуры. Автоволновой процесс, автоволна. Самоорганизация, синергетика. Эффект Бенара. Модель Колмогорова-Петровского-Пискунова. Закон дисперсии малых возмущений. Волны переключения, правило Максвелла. Фазовый переход, стабильная и метастабильная фазы. Функционал (функция) Ляпунова. Режимы локализации и обострения для нелинейных задач теплопроводности. Диффузионная неустойчивость. Диффузионная неустойчивость тьюринговского типа. Диффузионный хаос. Реакции Белоусова-Жаботинского, брюсселятор и орегонатор. Ведущие центры. Ревербераторы (вращающиеся спиральные волны). Модель Фиц Хью-Нагумо. Обобщённое уравнение Гинзбурга-Ландау. Уравнение Свифта-Хоэнберга и его обобщение. Аксиоматический подход. Клеточный автомат. Возникновение стационарной циркуляции при работе клеточного автомата.
Комментарии
Формула Эйлера
Эллиптические функции Якоби
Вырожденное решение дифференциального уравнения ÿ+2ɤẏ+ω20y=0
Расщепление частот связанных осцилляторов (график Вина)
Обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
Приближенное решение уравнения Матье
Параметрический резонанс в системе со скачкообразно меняющимися параметрами
О квантовании энергии гармонического осциллятора
О понятии автономности и неавтономности динамических систем
Гамильтоновы уравнения
Адиабатические инварианты в термодинамике
Об устойчивости неподвижной точки одномерного отображения
Приближенное решение уравнения Ван-дер-Поля
Нелинейный осциллятор
Критерий Рауса-Гурвица
Метод D-разбиений
Равноускоренное движение материальной точки
Теорема Лиувилля-Остроградcкого
0 теории катастроф
Об истории представлений нелинейной динамики
Приближенное решение уравнения Фейгенбаума
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника
Флуктуации в динамических системах
Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова
Термодинамика, статистическая физика и хаос
Волны в линиях передачи
Волновое сопротивление
0 дифракции волн (интеграл Кирхгофа)
Метод параболического уравнения в оптике
Обратная решётка
Соотношения Крамерса-Кронига
Об истории солитона
Самофокусировка излучения в нелинейной среде
Эффект самоиндуцированной прозрачности
Эффект Бенара
Приложения
Уравнения в частных производных первого порядка
Системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Интегральная кривая. Первый интеграл. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с п переменными. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Характеристики. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Геометрический смысл характеристик. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Конус Монжа, характеристическая полоса, начальная полоса. Уравнение эйконала. Принцип Ферма. Закон Снеллиуса. Проникновение луча света в среду с убывающим показателем преломления.
Метод обратной задачи рассеяния в теории солитонов
Задача Штурма-Лиувилля. Метод Лакса, уравнения Лакса. Уравнение Кортевега-де Фриса. Другие нелинейные эволюционные уравнения: уравнение Бюргерса, модифицированное уравнение Кортевега-де Фриса, уравнение sin-Гордон, нелинейное уравнение Шредингера. Потенциалы Баргмана. Основная идея метода обратной задачи рассеяния. Коэффициенты прохождения и отражения. Одномерная теория рассеяния. Фундаментальные решения (функции Йоста). Аналитические свойства. Уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко, δ-образный потенциал, Безотражательные потенциалы.
Уравнения градиентного типа
Основные определения. Уравнения градиентного типа. Краевые задачи, эквивалентные задачам градиентного типа. Функции Ляпунова. Примеры градиентных и эквивалентных им систем. Свойства линеаризованных систем. Устойчивость пространственно-периодических решений. Обыкновенные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Исследование краевой задачи для уравнения Кана-Хиллерта. Периодические решения обратимых систем.
